Rosmarin waschen und abtropfen lassen. Feigen vorsichtig waschen, trocken tupfen und in Scheiben schneiden.Backofen auf 45 Grad vorheizen.
Die Entenbrüste mit Salz, Pfeffer und 2 Stielen Rosmarin einreiben. 2 EL Butter in einer großen Pfanne erhitzen und die Entenbrüste darin mit der Hautseite nach unten 6 Minuten scharf anbraten und dann auf die Fleischseite wenden. Gemüsebrühe und Rosmarin hinzufügen und mit einem Deckel in geschlossener Pfanne und bei niedriger Hitze weitere 10 Minuten garen.
Entenbrüste aus der Pfanne nehmen und im vorgeheizten Backofen bei 45 Grad warmhalten. 2 weitere EL Butter in die Pfanne geben und verrühren. Cognac und Feigenchutney hinzufügen und kurz aufkochen lassen. 2 EL der Soße in eine kleine Tasse geben, die Stärke hineinrühren und wieder in die Pfanne geben. Gut verrühren.
Feigen auf vier Teller verteilen. Entenbrüste in 2 cm dicke Scheiben aufschneiden, darauflegen und die Sauce drüber geben. Sofort servieren.